Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，點P在邊BC上移動，點E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DC的中點．
（1）求證：EF+GH=5cm；
（2）求當∠APD=90°時，的值．

Answer 1

（1）證明：∵矩形ABCD，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm．
∵E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DC的中點，
∴EF+GH=BP+PC=BC．
∴EF+GH=5cm．

（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
又∵∠APD=90°，
在直角△APD中，AD²=AP²+DP²，
同理，AP²=AB²+BP²，PD²=PC²+CD²=PC²+AB²，
∴AD²=AP²+DP²=AB²+BP²+PC²+DC²=BP²+（BC-BP）²+2AB²=BP²+（10-BP）²+32，
即100=2BP²-20BP+100+32，
解得BP=2或8（cm），
當BP=2時，PC=8，EF=1，GH=4，這時，
當BP=8時，PC=2，EF=4，GH=1，這時，
∴的值為或4．
分析：E、F、G、H分別是AB、AP、DP、DC的中點，則EF，GH分別是△ABP，△DCP的中位線，得到EF+GH=BC；
根據(jù)∠APD=90°，利用勾股定理得到AD²=AP²+DP²=AB²+BP²+PC²+DC²=BP²+（BC-BP）²+2AB²=BP²+（10-BP）²+32，就得到關于BP的方程，從而求出BP的長，因而根據(jù)中位線定理求出EF，GH的長，從而求出比值．
點評：本題主要考查了三角形的中位線定理．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．