Question

如圖1，O為正方形ABCD邊AD延長線上的一點，以O(shè)為圓心OD為半徑的⊙O切直線BC于點E，過A點作AF切⊙O于點F，若正方形ABCD的邊長為4．
（1）求AF的長度；
（2）如圖2，將⊙O沿直線BC向左滾動，使得C、D、F三點恰好在一條直線上，求此時sin∠FAD的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)OE、OF，由于⊙O切直線BC于點E，AF切⊙O于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥BC，OF⊥AF，而四邊形ABCD為正方形，則∠CDO=∠DCE=90°，加上OD=OE，可判斷四邊形ODCE為正方形，所以O(shè)D=OE=CD=4，則OA=8，OF=4，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理計算AF的長；
（2）連結(jié)OE、OF，與（1）同樣可得OE=OF=CD=4，由于C、D、F三點恰好在一條直線上，所以FC⊥OA，易證得△OFD∽△OAF，根據(jù)相似的性質(zhì)得到OF：OA=OD：OF，即4：OA=（OA-4）：4，可計算出OA=2

5

+2，然后在Rt△OAF中，根據(jù)正弦的定義求解．

解答：解：（1）連結(jié)OE、OF，如圖1，
∵⊙O切直線BC于點E，AF切⊙O于點F，
∴OE⊥BC，OF⊥AF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠CDO=∠DCE=90°，
∴四邊形ODCE為矩形，
而OD=OE，
∴四邊形ODCE為正方形，
∴OD=OE=CD=4，
∴OA=8，OF=4，
在Rt△AFO中，AF=

OA2-OF2

=4

3

；
（2）連結(jié)OE、OF，如圖2，
與（1）同樣可得OE=OF=CD=4，
∵C、D、F三點恰好在一條直線上，
∴FC⊥OA，
∴∠FDO=90°，
而∠FOA=∠AOF，
∴Rt△OFD∽Rt△OAF，
∴OF：OA=OD：OF，即4：OA=（OA-4）：4，
∴OA=2

5

+2，
在Rt△OAF中，sin∠FAD=

OF

OA

=

4

2 5 +2

=

5 -1

2

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)．