Question

已知，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．動點P從0點出發(fā)沿射線OA方向以每秒2個單位的速度移動，同時動點Q從A點出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個單位的速度移動．設移動的時間為t秒．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求經過0，A，B三點的拋物線的解析式；
（3）試求出當t為何值時，△OAC與△PAQ相似？
（4）是否存在某一時刻，使△PAQ為等腰三角形？若能，請直接寫出t的所有可能的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D點，由已知條件利用勾股定理求AC，利用面積法求CD，利用勾股定理求OD，確定C點坐標，從而求直線AC的解析

41

5

式；
（2）由上題中求得的C（

16

5

，

12

5

），可以求得B（

41

5

，

12

5

），設拋物線的解析式為y=ax²+bx=c，把A、B、O坐標分別代入即可求得．
（3）根據P點是否在線段OA上分類：當0≤t≤2.5時，和當t＞2.5時，判斷相似是否成立，利用相似比求符合條件的t的值；
（4）當P點在線段OA上，在A點的左側時AP=AQ，t=

5

3

，當P在A點的右側AP=AQ時t=5．點P在A右側：QA=QP時，t=

25

2

，點P在A右側：PA=PQ時，t=

40

11

．

解答：解：（1）過C點作x軸的垂線，垂足為D點，在平行四邊形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面積法，得CD×OA=OC×AC，
解得CD=

4×3

5

=

12

5

，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=

OC2-OD2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），
又∵A（5，0），
∴直線AC解析式為：y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）∵C（

16

5

，

12

5

），
∴B（

41

5

，

12

5

），
∵O（0，0），A（5，0），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，代入得

c=0 25a+5b=0 412a 5 + 41b 5 = 12 5

，解得

a= 15 164 b= 75 164 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=

15

164

x²-

75

164

x．

（3）當0≤t≤2.5時，P在OA上，∠OAQ≠90°，
故此時△OAC與△PAQ不可能相似．
當t＞2.5時，
①若∠APQ=90°，則△AQP∽△OAC，
故

AP

AQ

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

2t-5

t

=

4

5

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合條件．
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合條件．
綜上可知，當t=

25

6

或

20

3

時，△OAC與△APQ相似．

（4）有四種情況：
①點P在A左側：AP=AQ時，t=

5

3

，
②點P在A右側：AP=AQ時，t=5，
③點P在A右側：QA=QP時，t=

25

2

，
④點P在A右側：PA=PQ時，t=

40

11

．

點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是利用勾股定理，面積法，相似三角形的性質解題．