Question

如圖，A、B分別為x軸和y軸正半軸上的點(diǎn)．OA、OB的長(zhǎng)分別是x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），直線BC平分∠ABO交x軸于C點(diǎn)，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC方向向終點(diǎn)C移動(dòng)
（1）設(shè)△APB和△OPB的面積為S₁，S₂，則S₁：S₂=

 

．
（2）P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t=

 

時(shí)△OPC是等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分別為D、H，由BC為∠ABO的平分線，可得PH=PD，則可得S₁：S₂=AB：OB，又∵OA、OB的長(zhǎng)是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），解方程即可求得OA，OB的長(zhǎng)，則可得S₁：S₂的值；
（2）分別取三個(gè)點(diǎn)做頂角的頂點(diǎn)，然后求出符合題意的t的值．

解答：解：（1）如圖，過(guò)P點(diǎn)作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分別為D、H，
∵BC為∠ABO的平分線，
∴PH=PD，
∴S₁：S₂=AB：OB，
又∵OA、OB的長(zhǎng)是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），
解方程得：x₁=8，x₂=6，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=10，
∴S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）①OP=OC時(shí)，t=

9 5

5

；
②PC=PO時(shí)，P在OC的中垂線上，x_p=1.5，代入直線BC的解析式y(tǒng)=-2x+6，
得P（1.5，3），
利用勾股定理可得PC=

1．52+32

=

3 5

2

，
PB=BC-PC=3

5

-

3 5

2

=

3 5

2

，
所以t=

3 5

2

；
③CP=CO=3時(shí)，t=3

5

-3．
故答案為5：3；

9 5

5

秒或

3 5

2

秒或（3

5

-3）秒．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的面積，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，等腰三角形的判定，有一定難度．分類討論是解題的關(guān)鍵．