如圖,∠XOY=90°,OW平分∠XOY,PA⊥OX,PB⊥OY,PC⊥OW,其中A,B,C為垂足,若OA+OB+OC=1
(1)在射線OX,OY上是否存在點D,使得△OCD為等腰三角形?如果存在,這樣的等腰三角形有幾個?如果不存在,說明理由.
(2)求OC的長.
分析:(1)存在,因為等腰三角形的腰和底不確定,所以要分兩種情況討論;
(2)先過AP與OW的交點作EF⊥OB,根據(jù)已知條件得出∠AEO=∠CEP=45°,再根據(jù)sin45°=
AE
OE
=
CP
EP
=
EF
OP
,表示出個邊的值,再進行相加,即可得出答案.
解答:解:(1)存在,
理由如下:
∵等腰三角形的腰和底不確定,當OC為底時,作OC的垂直平分線交OX,OY兩點此時的△OCD是等腰三角形;
當OC為腰時,分別以O(shè)和C為圓心OC長為半徑畫弧交OX,OY于四點此時的△OCD是等腰三角形;
∴這樣的等腰三角形有6個;
(2)過AP與OW的交點作EF⊥OB,
∵∠XOY=90°,OW平分∠XOY,
∴∠AOC=∠COB=45°,
∴∠AEO=∠CEP=45°,
∴sin45°=
AE
OE
=
CP
EP
=
EF
OP
,
∴AE=
2
2
OE,EP=
2
CP,OE=
2
EF,
∵cos45°=
EC
EP
,
∴EC=
2
2
EP,
∵AO=EF,OF+EP=OB,OC=OE+EC,
∴OC=
2
-1
點評:此題考查了等腰直角三角形,用到的知識點是特殊角的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵是根據(jù)角的度數(shù)表示出各個邊.
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(1)在射線OX,OY上是否存在點D,使得△OCD為等腰三角形?如果存在,這樣的等腰三角形有幾個?如果不存在,說明理由.
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