Question

如圖，∠XOY=90°，OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB⊥OY，PC⊥OW，其中A，B，C為垂足，若OA+OB+OC=1
（1）在射線OX，OY上是否存在點D，使得△OCD為等腰三角形？如果存在，這樣的等腰三角形有幾個？如果不存在，說明理由．
（2）求OC的長．

Answer 1

解：（1）存在，
理由如下：
∵等腰三角形的腰和底不確定，當(dāng)OC為底時，作OC的垂直平分線交OX，OY兩點此時的△OCD是等腰三角形；
當(dāng)OC為腰時，分別以O(shè)和C為圓心OC長為半徑畫弧交OX，OY于四點此時的△OCD是等腰三角形；
∴這樣的等腰三角形有6個；
（2）過AP與OW的交點作EF⊥OB，
∵∠XOY=90°，OW平分∠XOY，
∴∠AOC=∠COB=45°，
∴∠AEO=∠CEP=45°，
∴sin45°=，
∴AE=OE，EP=CP，OE=EF，
∵cos45°=，
∴EC=EP，
∵AO=EF，OF+EP=OB，OC=OE+EC，
∴OC=．
分析：（1）存在，因為等腰三角形的腰和底不確定，所以要分兩種情況討論；
（2）先過AP與OW的交點作EF⊥OB，根據(jù)已知條件得出∠AEO=∠CEP=45°，再根據(jù)sin45°=，表示出個邊的值，再進行相加，即可得出答案．
點評：此題考查了等腰直角三角形，用到的知識點是特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角的度數(shù)表示出各個邊．