Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于點A（-2，0）、B（6，0），與y軸交于點C，直線CD∥x軸，且與拋物線交于點D，P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）過點P作PQ⊥CD于點Q，將△CPQ繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），當cosα=，且旋轉(zhuǎn)后點P的對應點P'恰好落在x軸上時，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得，
解得：．
所以拋物線的解析式為．

（2）如圖1，過點Q的對應點Q'作EF⊥CD于點E，交x軸于點F．
設(shè)P（x，y），則CQ=x，PQ=4-y．
由題意可知：CQ'=CQ=x，P'Q'=PQ=4-y，∠CQP=∠CQ'P'=90°．
∴∠QCQ'+∠CQ'E=∠P'Q'F+∠CQ'E=90°．
∴∠P'Q'F=∠QCQ'=α．
又∵cosα=，
∴，．
∴．
∵，
整理可得．
∴，（舍去）．
∴．
如圖2，過點Q的對應點Q'作EF⊥CD于點E，交x軸于點F．
設(shè)P（x，y），則CQ=-x，PQ=4-y．
可得∠P'Q'F=∠QCQ'=α．
又∵cosα=，
∴，．
∴．
∵，
整理可得．
∴（舍去），．
∴．
∴或．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）分別利用P點在y軸右側(cè)和左側(cè)，設(shè)P（x，y），利用cosα=，表示出各邊長度，進而分別求出P點坐標即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及銳角三角函數(shù)的關(guān)系和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．