Question

已知二次函數(shù)y=（m-2）x²+（m+3）x+m+2的圖象過點(diǎn)（0，5）．
（1）求m的值，并寫出二次函數(shù)的解析式；
（2）求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（3）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)p，點(diǎn)P（p，-p²）都不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）直接把點(diǎn)（0，5）坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中得到關(guān)于m的方程，然后解方程求得m的值，把m的值代入y=（m-2）x²+（m+3）x+m+2即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式即可；
（3）把點(diǎn)P（p，-p²）代入已求出的二次函數(shù)的解析式中，得到關(guān)于p的一元二次方程，若方程有解則在二次函數(shù)的圖象上；無解則不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．

解答：解：（1）把（0，5）代入y=（m-2）x²+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3．
所以二次函數(shù)的解析式：y=x²+6x+5；

（2）∵y=x²+6x+5=（x+3）²-4，
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-4），對(duì)稱軸為x=-3；

（3）證明：若點(diǎn)P（p，-p²）在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．
則-p²=p²+6p+5，
得2p²+6p+5=0，
因?yàn)樵摲匠谈�的判別式：36-40=-4＜0，方程無解，
所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)p，點(diǎn)P（p，-p²）都不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，根據(jù)判別式△的值得出函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．