Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙O于點P，過點P作PE⊥AC于點E，作射線DE交PC于點Q，同時交BC的延長線于F點，連接PF、PA．
（1）求證：△POE≌△AOD；
（2）求證：PC⊥DF；
（3）求證：PF是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用全等三角形的判定方法AAS即可判定；
（2）由（1）可得OD=EO，∠ODE=∠OED，由OA=OP得到∠OAP=∠OPA，又因為∠AOP=∠EOD即可得到∠OPA=∠ODE，從而證得AP∥DF，再利用平行線的性質(zhì)和直徑的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；
（3）由OD⊥AB，AC是直徑，可得∠PDB=∠FBD=90°，從而得到DP∥BF，利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得∠CEF=∠EFC，得到CE=CF，證得PC為EF的中垂線，繼而證得△CEP∽△CAP，利用相似三角形的性質(zhì)，可以證得∠QPF=∠OPA，再利用等量代換即可得到∠QPF+∠OPC=90°，從而證得PF是⊙O的切線．

解答：證明：（1）∵AC是直徑，點P在⊙O上，
∴OA=OP，
∵OD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADO=∠PEO=90°，
在△POE與△AOD中，

∠ADO=∠PEO ∠AOD=∠POE AO=PO

∴△POE≌△AOD（AAS），
（2）∵OA=OP
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∴∠PQE=∠APC
∵AC是直徑，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥DF；
（3）∵OD⊥AB，AC是直徑，
∴∠PDB=∠FBD=90°
∴DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC為EF的中垂線，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切線．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定等知識，能綜合運用這些判定和性質(zhì)及找到角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．