Question

【題目】如圖，在菱形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，延長(zhǎng)交于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）已知點(diǎn)在邊上，請(qǐng)以為邊，用尺規(guī)作一個(gè)與相似，并使得點(diǎn)在上.（只須作出一個(gè)，保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：，再根據(jù)相似三角形的判定即可證出，從而得出結(jié)論；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得DA=DC，從而得出∠DAC=∠DCA，可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出與相似，然后用尺規(guī)作圖作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可.

解：（1）∵四邊形是菱形，

∴.

∴.

∴.

（2）∵四邊形是菱形

∴DA=DC

∴∠DAC=∠DCA

∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出與相似，

尺規(guī)作圖如圖所示：

①作∠CPQ=∠AEF，步驟為：以點(diǎn)E為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑，作弧，交EA和EF于點(diǎn)G、H，以P為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑作弧，交CP于點(diǎn)M，以M為圓心，以GH的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)N，連接PN并延長(zhǎng)，交AC于Q，就是所求作的三角形；

②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；

或

∴就是所求作的三角形（兩種情況任選其一即可）.