Question

等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上的一點(diǎn)，AD=BD，則以下結(jié)論中正確的有（　�。�
①△BCD是等腰三角形；②點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；③△BCD∽△ABC；④BD平分∠ABC．

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割,等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠ABC=∠C=

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（180°-∠A）=72°，再計(jì)算出∠BDC=72°，∠DBC=36°，則可對(duì)①③④進(jìn)行判斷；利用△BCD∽△ABC得BD：AC=CD：BD，而AD=BD，則AD：AC=CD：AD，于是根據(jù)黃金分割的定義可對(duì)②進(jìn)行判斷．

解答：解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

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（180°-∠A）=

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（180°-36°）=72°，
∵AD=BD，
∴∠DBA=∠A=36°，
∴∠BDC=2∠A=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴△BCD為等腰三角形，所以①正確；
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC，所以④正確；
∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，所以③正確；
∴BD：AC=CD：BD，
而AD=BD，
∴AD：AC=CD：AD，
∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，所以②正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=

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AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．