Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=-

1

3

mx+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，且4OA=3OB，將直線AB沿y軸翻折與x軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求m的值及直線BC的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D 在該拋物線上，且四邊形OBDC為矩形，求該拋物線的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)E、F分別是線段AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），當(dāng)∠BEF=∠BAO，且△BEF是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求得直線與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)4OA=3OB求得線段OA的長，從而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入已知直線即可求得m的值；然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式即可；
（2）根據(jù)四邊形OCDB為矩形和點(diǎn)B、C的坐標(biāo)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)已知的點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式即可；
（3）首先證得△BEF∽△BCE，根據(jù)△BEF為等腰三角形，得到△BCE為等腰三角形，然后分當(dāng)CE=CB=5時(shí)、當(dāng)BE=BC時(shí)、當(dāng)EC=EB時(shí)三種情況求得點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將x=0代入直線y=-

1

3

mx+4，
解得：y=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
∴OB=4
∵4OA=3OB，
∴OA=3
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），
∴把點(diǎn)（3，0）代入y=-

1

3

mx+4，
解得m=4，
由翻折可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)代入上式，得：

-3k+b=0 b=4

，
解得：

k= 4 3 b=4

∴所求直線BC為y=

4

3

x+4；

（2）∵四邊形OBDC為矩形，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，4），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴將點(diǎn)A（3，0），B（0，4），D（-3，4）分別代入y=ax²+bx+c，得：

9a+3b+c=0 9a-3b+c=4 c=4

解得：

a=- 2 9 b=- 2 3 c=4

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

9

x²-2x+4；

（3）由（1）可知BC=BA
∴∠BCA=∠BAC，
而∠BEF=∠BAO，
∴∠BEF=∠BCO，
∴△BEF∽△BCE，
∵△BEF為等腰三角形，
△BCE為等腰三角形，
1、當(dāng)CE=CB=5時(shí)，由OC=3，可知：OE=2，
∴E（2，0）；
2、當(dāng)BE=BC時(shí)，有E與A重合，不合題意，舍去．
3、當(dāng)EC=EB時(shí)，設(shè)點(diǎn)E（x，0），
則（x+3）²=x²+4²，
解得x=

7

6

，
∴E（

7

6

，0）
綜上，所求點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，0）或（

7

6

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中還考查了待定系數(shù)法等知識(shí)，第三題中用到的分類討論的數(shù)學(xué)思想更是中考的熱點(diǎn)考題之一，難度較大．