Question

如圖，△ACB為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，∠EOF=45°
（1）求證：△AOE∽△BFO；
（2）若AB=4，求AE•BF的值．

Answer 1

（1）證明：∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOE+∠BOF=180°-∠EOF=135°，
而∠BOF+∠BFO=180°-∠B=135°，
∴∠AOE=∠BFO，
∴△AOE∽△BFO；

（2）解：∵點O為斜邊AB的中點，
∴AO=BO=AB=×4=2，
∵△AOE∽△BFO，
∴=，
∴AE•BF=AO•BO=2×2=4．
分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質得∠A=∠B=45°，利用平角的定義得∠AOE+∠BOF=180°-∠EOF=135°，根據(jù)三角形內角和定理得∠BOF+∠BFO=180°-∠B=135°，
則∠AOE=∠BFO，然后根據(jù)三角形相似的判定方法即可得到△AOE∽△BFO；
（2）先利用中點得到AO=BO=2，然后利用△AOE∽△BFO，根據(jù)相似比可計算AE•BF的值．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等，對應角相等．