Question

已知：如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，點E、F是AB邊所在直線上的兩點，且∠ECF=135°．
（1）求證：△ECA∽△CFB；
（2）若AE=3，設(shè)AB=x，BF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出∠CAE=∠CBF=135°，求出∠ECA+∠BCF=45°，∠E+∠ACE=45°，推出∠E=∠BCF，即可推出兩三角形相似；
（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義求出AC和BC長，根據(jù)兩時間相似得出比例式，代入即可求出答案．

解答：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=180°-45°=135°，
同理∠CBF=135°，
∴∠CAE=∠CBF，
∵∠ECF=135°，∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠BCF=45°，
∵∠ECA+∠E=∠CAB=45°，
∴∠E=∠BCF，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ECA∽△CFB；

（2）解：∵AB=x，∠CAB=45°，∠ACB=90°，AC=BC，
∴sin45°=

CB

x

，
∴CB=

2

2

x=AC，
∵由（1）知△ECA∽△CFB，
∴

AE

CB

=

AC

BF

，
∴

3

2 2 x

=

2 2 x

y

，
∴y=

1

6

x²，
x的取值范圍是x＞0，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=

1

6

x²，x的取值范圍是x＞0．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識點，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．