Question

已知拋物線y=x²+bx+c交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B（3，-4），直線y=

1

4

x與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為C，連接OB．
（1）填空：b=

 

，c=

 

；
（2）如圖（1），點(diǎn)P為射線OC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OBP的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖（2），點(diǎn)P在直線OC上的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在拋物線上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在P、Q，使得以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可求A點(diǎn)坐標(biāo)，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組可求b、c；
（2）連接AB，作PD⊥y軸，則D（0，

1

4

x），在梯形ABPD中，分別計(jì)算梯形、兩個(gè)直角三角形的面積，利用割補(bǔ)法表示△OBP的面積S；
（3）因?yàn)锳B=3，根據(jù)PQ∥AB，PQ=AB，求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）已知B（3，-4），根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知A（0，-4），
將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得

c=-4 9+3b+c=-4

，解得b=-3，c=-4；

（2）作PD⊥y軸，則D（0，

1

4

x）
梯形ABPD面積=

1

2

（x+3）（

1

4

x+4）=

1

8

x2+

19

8

x+6
△AOB面積=

1

2

×3×4=6
△DOP面積=

1

2

×x×

1

4

x=

1

8

x2
∴S=梯形ABPD面積-△AOB面積-△DOP面積=

19

8

x

（3）存在．設(shè)P（4y，y），Q（x，x²-3x-4），
則OB=PQ，OQ=BP，
∵B（3，-4），
∴OB=5，
∴PB²=（4y-3）²+（y+4）²=x²+（x²-3x-4）²，①
OB²=（4y-x）²+（x²-3x-4-y）²=25，②
①②聯(lián)立得，

4y=8 y=2

，

4y= 5 4 y= 5 16

，

4y=- 11 4 y=- 11 16

，

4y= 11 4 y= 11 16

．
故P₁（8，2），P₂（

5

4

，

5

16

），P₃（-

11

4

，-

11

16

），-P₄（

11

4

，

11

16

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法，坐標(biāo)系中，面積的表示方法及平行四邊形性質(zhì)的運(yùn)用．