Question

【題目】如圖（1），直線交x軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)C（0，4），拋物線過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，-2）.點(diǎn)P為拋物線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；

（3）如圖（2），將△BDP繞點(diǎn)B 逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC，且點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P′落在坐標(biāo)軸上時，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為.（2）或.（3）滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）、（， ）或（、）.

【解析】（1）先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）由△BDP為等腰直角三角形，判斷出BD=PD，建立m的方程計(jì)算出m，從而求出PD；（3）分點(diǎn)P′落在x軸和y軸兩種情況計(jì)算即可．

解：（1）∵點(diǎn)C（0，4）在直線y=﹣x+n上，

∴n=4，∴y=﹣x+4，

令y=0，∴x=3，∴A（3，0），

∵拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，﹣2）．

∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，

∴b=﹣，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2，

（2）點(diǎn)P為拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

∴P（m， m2﹣m﹣2），

∴BD=|m|，PD=|m2﹣m﹣2+2|=|m2﹣m|，

∵△BDP為等腰直角三角形，且PD⊥BD，

∴BD=PD，

∴|m|=|m2﹣m|，

∴m=0（舍），m=，m=，

∴PD=或PD=；

（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，

∴AC=5，

∴sin∠PBP'=，cos∠PBP'=，

①當(dāng)點(diǎn)P'落在x軸上時，過點(diǎn)D'作D'N⊥x軸，垂足為N，交BD于點(diǎn)M，

∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，

如圖1，

ND'﹣MD'=2，

∴（m2﹣m）﹣（﹣m）=2，

∴m=（舍），或m=﹣，

如圖2，

ND'+MD'=2，

∴（m2﹣m）+m=2，

∴m=，或m=﹣（舍），

∴P（﹣， ）或P（， ），

②當(dāng)點(diǎn)P'落在y軸上時，如圖3，

過點(diǎn)D′作D′M⊥x軸，交BD于M，過P′作P′N⊥y軸，

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，

∵P′N=BM，

∴（m2﹣m）=m，

∴m=，

∴P（， ）．

∴P（﹣， ）或P（， ）或P（， ）．

“點(diǎn)睛”此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．