Question

某課題研究小組就圖形面積問題進(jìn)行專題研究，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

(1)有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于這條邊上的對(duì)應(yīng)高之比；

(2)有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比；

…

現(xiàn)請(qǐng)你繼續(xù)對(duì)下面問題進(jìn)行探究，探究過程可直接應(yīng)用上述結(jié)論．(S表示面積)

問題1：如圖1，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC．

經(jīng)探究知＝S_△ABC，請(qǐng)證明．

問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q₁，Q₂三等分邊DC．請(qǐng)?zhí)骄?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30R0/0077/0028/be3110c3235d0ac9d5c788f5a077c7ad/A/Image89.gif" width=92 HEIGHT=26>與S_{四邊形ABCD}之間的數(shù)量關(guān)系．

問題3：如圖3，P₁，P₂，P₃，P₄五等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃，Q₄五等分邊DC．若S_{四邊形ABCD}＝1，求．

問題4：如圖4，P₁，P₂，P₃四等分邊AB，Q₁，Q₂，Q₃四等分邊DC，P₁Q₁，P₂Q₂，P₃Q₃將四邊形ABCD分成四個(gè)部分，面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．請(qǐng)直接寫出含有S₁，S₂，S₃，S₄的一個(gè)等式．

Answer 1

答案：
解析：

解：?jiǎn)栴}1：∵P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC， 　　∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1R1∽△AP2R2∽△ABC，且面積比為1∶4∶9． 　　∴＝S△ABC＝S△ABC 　　問題2：連接Q1R1，Q2R2，如圖，由問題1的結(jié)論，可知 　　∴＝S△ABC，＝S△ACD 　　∴＋＝S四邊形ABCD 　　由∵P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC，Q1，Q2三等分邊DC， 　　可得P1R1：P2R2＝Q2R2：Q1R1＝1：2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1． 　　∴∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2Q2． 　　由結(jié)論(2)，可知＝． 　　∴＝＋＝S四邊形ABCD． 　　問題3：設(shè)＝A，＝B，設(shè)＝C， 　　由問題2的結(jié)論，可知A＝，B＝． 　　A＋B＝(S四邊形ABCD＋C)＝(1＋C)． 　　又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]． 　　整理得C＝，即＝ 　　問題4：S1＋S4＝S2＋S3． 　　分析：?jiǎn)栴}1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面積比是對(duì)應(yīng)邊的比的平方的性質(zhì)可得． 　　問題2：由問題1的結(jié)果和所給結(jié)論(2)有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比，可得． 　　問題3：由問題2的結(jié)果經(jīng)過等量代換可求． 　　問題4：由問題2可知S1＋S4＝S2＋S3＝SABCD．