【題目】如圖1,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以O(shè)B為一邊,在△OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點(diǎn),連接AD并延長(zhǎng)交OC于E.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCE是平行四邊形;
(3)如圖2,將圖1中的四邊形ABCO折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕為FG,求OG的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,

∴OA=OBcos30°=8× =4 ,

AB=OBsin30°=8× =4,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4 ,4);


(2)證明:∵∠OAB=90°,

∴AB⊥x軸,

∵y軸⊥x軸,

∴AB∥y軸,即AB∥CE,

∵∠AOB=30°,

∴∠OBA=60°,

∵DB=DO=4

∴DB=AB=4

∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°,

∴∠ADB=60°,

∵△OBC是等邊三角形,

∴∠OBC=60°,

∴∠ADB=∠OBC,

即AD∥BC,

∴四邊形ABCE是平行四邊形;


(3)解:設(shè)OG的長(zhǎng)為x,

∵OC=OB=8,

∴CG=8﹣x,

由折疊的性質(zhì)可得:AG=CG=8﹣x,

在Rt△AOG中,AG2=OG2+OA2,

即(8﹣x)2=x2+(4 2,

解得:x=1,

即OG=1.


【解析】(1)由在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí),即可求得AB與OA的長(zhǎng),即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)首先可得CE∥AB,D是OB的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,可證得BD=AD,∠ADB=60°,又由△OBC是等邊三角形,可得∠ADB=∠OBC,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可證得BC∥AE,繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形;(3)首先設(shè)OG的長(zhǎng)為x,由折疊的性質(zhì)可得:AG=CG=8﹣x,然后根據(jù)勾股定理可得方程(8﹣x)2=x2+(4 2 , 解此方程即可求得OG的長(zhǎng).

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(1)在如圖的方格紙中把△ABC以點(diǎn)O為位似中心擴(kuò)大,使放大前后的位似比為1:2,畫出△A1B2C2(△ABC與△A1B2C2在位似中心O點(diǎn)的兩側(cè),A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A1 , B2 , C2).
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(1)求拋物線的解析式;
(2)若P是直線AB上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,求線段PE的最大值;
(3)在(2)的條件,設(shè)PC與AB相交于點(diǎn)Q,當(dāng)線段PC與BE相互平分時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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D.

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