【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x與反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A(m,2),將直線y=2x向下平移后與反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)P,且△POA的面積為2.
(1)求k的值.
(2)求平移后的直線的函數(shù)解析式.

【答案】
(1)解:∵點(diǎn)A(m,2)在直線y=2x,

∴2=2m,

∴m=1,

∴點(diǎn)A(1,2),

∵點(diǎn)A(1,2)在反比例函數(shù)y= 上,

∴k=2


(2)解:方法一、如圖,

設(shè)平移后的直線與y軸相交于B,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA,BN⊥OA,AC⊥y軸

由(1)知,A(1,2),

∴OA= ,sin∠BON=sin∠AOC= =

∵SPOA= OA×PM= × PM=2,

∴PM=

∵PM⊥OA,BN⊥OA,

∴PM∥BN,

∵PB∥OA,

∴四邊形BPMN是平行四邊形,

∴BN=PM= ,

∵sin∠BON= = = ,

∴OB=4,

∵PB∥AO,

∴B(0,﹣4),

∴平移后的直線PB的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x﹣4,

方法二、如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PC⊥y軸交OA于C,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n, )(n>1),

∴C( , ),∴PC=n﹣

∵△POA的面積為2.A(1,2)

∴SPOA=SPCO+SPCA

= (n﹣ )× + (n﹣ )(2﹣

= (n﹣ )×2

=n﹣

=2,

∴n=1﹣ (舍)或n=1+ ,

∴P(1+ ,2 ﹣2)

∴PB∥AO,

∴設(shè)直線PB的解析式為y=2x+b,

∵點(diǎn)P在直線PB上,

∴2 ﹣2=2(1+ )+b,

∴b=﹣4,

∴平移后的直線PB的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x﹣4,


【解析】(1)由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)求得m,即點(diǎn)A的坐標(biāo),把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中即可;(2)方法一、先求出PM,再求出BN然后用銳角三角函數(shù)求出OB,即可.方法二、先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),利用△POA的面積為2.建立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.

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(2)求證:四邊形ABCE是平行四邊形;
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根據(jù)以上信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:

平均成績(jī)/環(huán)

中位數(shù)/環(huán)

眾數(shù)/環(huán)

方差

a

7

7

1.2

7

b

8

c


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(2)如圖2,

在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;
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