Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標(biāo)為（3，﹣）．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點A的坐標(biāo)；

（2）在拋物線上求點P，使S_△POA=2S_△AOB；

（3）在拋物線上是否存在點Q，使△AQO與△AOB相似？如果存在，請求出Q點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），（6，0）（2）P₁（3+，2），P₂（3﹣，2）（3）存在，Q點的坐標(biāo)（9，3），（﹣3，3）

【解析】解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點得，函數(shù)解析式為y=ax²+bx（a≠0），

又∵函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（3，﹣），

∴，解得：。

∴函數(shù)解析式為：。

由二次函數(shù)圖象的對稱性可得點A的坐標(biāo)為（6，0）。

（2）∵S_△POA=2S_△AOB，

∴點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標(biāo)為2。

代入函數(shù)解析式得：，解得：x₁=3+，x₂=3﹣。

∴滿足條件的有兩個，P₁（3+，2），P₂（3﹣，2）。

（3）存在。

過點B作BP⊥OA，

則tan∠BOP=tan∠BAP=。

∴∠BOA=30°。

設(shè)Q₁坐標(biāo)為（x，），過點Q₁作Q₁F⊥x軸，

∵△OAB∽△OQ₁A，∴∠Q₁OA=30°，

∴OF=Q₁F，即x=，解得：x=9或x=0（舍去）。

∴Q₁坐標(biāo)為（9，3），

根據(jù)函數(shù)的對稱性可得Q₂坐標(biāo)為（﹣3，3）。

∴Q點的坐標(biāo)（9，3），（﹣3，3）。

（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點，可得c=0，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點（3，﹣）可得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可直接得出點A的坐標(biāo)。

（2）根據(jù)題意可得點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標(biāo)為2，代入函數(shù)解析式可得出點P的橫坐標(biāo)。

（3）先求出∠BOA的度數(shù)，然后可確定∠Q₁OA=的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q₁的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q₂的坐標(biāo)。