Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形AOCD的頂點(diǎn)為 O（0，0），A（0，2），D（1，2），C（3，0），點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)（O、C兩點(diǎn)除外），設(shè)PC=x，四邊形AOPD的面積為y．
（1）求CD的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）如果以D為圓心、以AD長為半徑作⊙D，以P為圓心、以PC長為半徑作⊙P．當(dāng)x為何值時(shí)，⊙D與⊙P相切？并求出兩圓相切時(shí)四邊形AOPD的面積．

Answer 1

解：（1）過D點(diǎn)作DE⊥OC，垂足為E，
在Rt△CDE中，DE=2，CE=2，
∴CD=2；

（2）∵PC=x，DE=2，
∴S_△PDC=，…
∴
∴y=S_梯形AOCD-S_△PDC=4-x（0＜x＜3）；

（3）當(dāng)圓P與圓D外切時(shí)，如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2，DE=2，
根據(jù)勾股定理得：EC=═2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圓D與圓P外切，圓D半徑為，圓P半徑為x，
∴DP=+x，
在Rt△DEP中，根據(jù)勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=；
即x=時(shí)⊙D與⊙P外切．
此時(shí)S_{四邊形ABPD}=-+4=，
當(dāng)圓P與圓D內(nèi)切時(shí)，如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2，DE=2，
根據(jù)勾股定理得：EC=2，
∵圓D與圓P外切，圓D半徑為，圓P半徑為x，
∴DP=x-，
在Rt△DEP中，根據(jù)勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（-+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=，
綜上，當(dāng)x=或時(shí)，圓D與圓P相切．
即x=時(shí)⊙D與⊙P內(nèi)切．
此時(shí)S_{四邊形ABPD}=-+4=．
分析：（1）如圖作DE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理即可求出CD的長；
（2）由矩形的性質(zhì)可以得出DE=AB，由勾股定理可以得出EC的值，進(jìn)而表示出EP．從而求出BP，再根據(jù)梯形的面積公式可以表示出梯形的面積就可以表示出y與x之間的函數(shù)的關(guān)系式．由點(diǎn)P不與B、C重合，從而可以得出x的范圍．
（3）設(shè)PC=x時(shí)，⊙D與⊙P外切或內(nèi)切時(shí)，分別分析求出x的值，代入（2）的解析式就可以求出四邊形ABPD的面積．
點(diǎn)評：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，函數(shù)自變量的取值范圍，相切兩圓的性質(zhì)，梯形的面積及勾股定理的運(yùn)用以及分類討論的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用，題目具有綜合性，難度不�。�