Question

如圖，直線l₁：y₁=-x+1與x軸、y軸交于A、E兩點(diǎn)，直線l₂：y₂=x-3與x軸、y軸交于B、D兩點(diǎn)，直線l₁與直線l₂相交于點(diǎn)C，
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）x取何值的時(shí)候，y₁＞y₂；
（3）連接EB，求△EBC的面積；
（4）將△EBC以直線l₂為對(duì)稱(chēng)軸作軸對(duì)稱(chēng)變換，點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把兩直線的解析式組成方程組，則方程組的解為C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜2時(shí)，y₁都在y₂的上方；
（3）先確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），然后根據(jù)三角形面積公式和△EBC的面積=S_△EAB+S_△CAB進(jìn)行計(jì)算；
（4）先確定△OBD和△OAE都是等腰直角三角形，可得到∠ACB=90°，則點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′在直線y=-x+1上，作E′F⊥x于F點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（x，-x+1），
再利用勾股定理計(jì)算出BE，則利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得到BE′的長(zhǎng)，然后再Rt△BE′F中運(yùn)用勾股定理得到關(guān)于x的方程，解方程可確定E′的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程組

y=-x+1 y=x-3

得

x=2 y=1

，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-1）；

（2）當(dāng)x＜2時(shí)，y₁＞y₂；

（3）B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
所以△EBC的面積=S_△EAB+S_△CAB=

1

2

×1×2+

1

2

×1×2=2；

（4）D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
則OB=OD，OA=OE，
所以△OBD和△OAE都是等腰直角三角形，
所以∠OAE=45°，∠OBD=45°，
則∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∴以直線l₂為對(duì)稱(chēng)軸作軸對(duì)稱(chēng)變換，點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′在直線y=-x+1上，
設(shè)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（x，-x+1），作E′F⊥x于F點(diǎn)，
∴BE²=BE′²=OE²+OB²=1+9=10，
而FB=x-3，F(xiàn)E′=-x+1，
在Rt△BE′F中，BE′²=E′F²+BF²，
∴（-x+1）²+（x-3）²=10，解得x₁=4，x₂=0（舍去），
∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（4，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題：若直線y=k₁x+b₁與直線y=k₂x+b₂平行，則k₁=k₂；若直線y=k₁x+b₁與直線y=k₂x+b₂相交，則由兩解析式所組成的方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)．也考查了軸對(duì)稱(chēng)以及勾股定理．