【題目】已知O為正方形ABCD的中心,M為射線OD上一動點(M與點O,D不重合),以線段AM為一邊作正方形AMEF,連接FD.

(1)當點M在線段OD上時(如圖1),線段BM與DF有怎樣的數(shù)量及位置關系?請說明理由;

(2)當點M在線段OD的延長線上時(如圖2),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請結(jié)合圖2說明理由.

【答案】(1)BM=DF,BM⊥DF.理由見解析;(2)BM=DF,BM⊥DF仍然成立,理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)圖形,由正方形的性質(zhì)證得△FAD≌△MAB,進而求出BM=DF,∠FDA=∠ABD=45°,結(jié)合已知條件即可推出BM=DF,BM⊥DF;
(2)成立,根據(jù)正方形的性質(zhì),推出△ABM≌△ADF,根據(jù)正方形的性質(zhì)推出∠BAM=∠DAF,△ABM≌△ADF,進而求出BM=DF,∠ABM=∠ADF,∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°即可.

(1)BM=DF,BM⊥DF.

理由:∵四邊形ABCD,AMEF均為正方形,

∴AF=AM,AD=AB,∠FAM=∠DAB=90°,

∴∠FAM-∠DAM=∠DAB-∠DAM,即∠FAD=∠MAB.

在△FAD和△MAB中,

∴△FAD≌△MAB(SAS),∴BM=DF,∠FDA=∠ABD=45°.

∵∠ADB=45°,∴∠FDB=45°+45°=90°.∴BM⊥DF,即BM=DF,BM⊥DF.

(2)BM=DF,BM⊥DF仍然成立,

理由:∵四邊形ABCD和AMEF均為正方形,∴AB=AD,AM=AF,∠BAD=∠MAF=90°,

∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM,即∠FAD=∠MAB.

在△FAD和△MAB中,

∴△FAD≌△MAB(SAS),∴BM=DF,∠ABM=∠ADF.

由正方形ABCD知,∠ABM=∠ADB=45°,

∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°,即BM⊥DF.

∴(1)中的結(jié)論仍成立.

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指距dcm

20

21

22

23

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160

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