Question

如圖，已知拋物線C₁：的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．

1.求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；

2.如圖（1），

拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí)，求C₃的解析式；

3.如圖（2），

點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C₁繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

 

1.由拋物線C₁：得

頂點(diǎn)P的為（-2，-5）   ………2分

∵點(diǎn)B（1，0）在拋物線C₁上

∴

        解得，a＝             ………4分

2.連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G

∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱

∴PM過點(diǎn)B，且PB＝MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5）                  ………6分

 拋物線C₂由C₁關(guān)于x軸對(duì)稱得到，拋物線C₃由C₂平移得到

∴拋物線C₃的表達(dá)式為   ………8分

3.∵拋物線C₄由C₁繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到

∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱

     由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5）            ………9分

     作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G

     作PK⊥NG于K

     ∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上

∴EF＝AB＝2BH＝6

     ∴FG＝3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+3，0）

     H坐標(biāo)為（2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），

根據(jù)勾股定理得

     PN²＝NK²+PK²＝m²+4m+104

     PF²＝PH²+HF²＝m²+10m+50

     NF²＝5²+3²＝34               ………10分

①當(dāng)∠PNF＝90º時(shí)，PN²+ NF²＝PF²，解得m＝，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0） 

②當(dāng)∠PFN＝90º時(shí)，PF²+ NF²＝PN²，解得m＝，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º

綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)

的三角形是直角三角形．       ………12分

【解析】略