Question

如圖，在△OAB中，∠A=90°，△OCD是把△OAB以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)而得到的（其中C與A對應(yīng)），記旋轉(zhuǎn)角為α，∠OBA為β．
（1）如圖，當旋轉(zhuǎn)后滿足BD∥AO時，求α與β之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）當旋轉(zhuǎn)后滿足OC⊥OB時，取BD的中點P，探究線段PO與PC的數(shù)量關(guān)系并予以證明．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OB=OD，∠BOD=α，則∠OBD=∠ODB，于是利用三角形內(nèi)角和定理得到α=180°-2∠OBD，由于BD∥AO且∠A=90°，所以∠OBD=∠AOB=90°-β，易得α=2β；
（2）討論：當C點在OA上方時，如圖1，由∠OCD=∠BOC=90°得到OB∥CD．取OD的中點E，連PE，CE，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PE∥OB，則PE∥CD，利用平行線的性質(zhì)得到∠OEP=∠EDC，∠CEP=∠ECD，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CE=EO=ED，則可根據(jù)“SAS”證明△EOP≌△ECP，所以PO=PC；當C位于OA下方時，如圖2，同樣可證得PO=PC．

解答：解：（1）∵，△OCD是把△OAB以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)而得到的，
∴OB=OD，∠BOD=α，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵∠OBD+∠ODB+α=180°，
∴α=180°-2∠OBD，
∵BD∥AO且∠A=90°，
∴∠OBD=∠AOB=90°-β，
∴α=180°-2（90°-β）=2β；
（2）PO=PC．
證明：當C點在OA上方時，如圖1，
∵∠OCD=∠BOC=90°，
∴OB∥CD．
取OD的中點E，連PE，CE，
∵P為BD中點，
∴PE∥OB，
∴PE∥CD，
∴∠OEP=∠EDC，∠CEP=∠ECD，
∵∠OCD=90°，E為OD中點，
∴CE=EO=ED，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠OEP=∠CEP，
又∵EO=EC，EP=EP，
在△EOP和△ECP中

EO=EC ∠OEP=∠CEP EP=EP

，
∴△EOP≌△ECP，
∵PO=PC．
當C位于OA下方時，如圖2，同樣可證得PO=PC．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．