Question

在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB=14，OC=，AC與y軸交于點(diǎn)E．

（1）求AC所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
（3）已知點(diǎn)F（10，0），在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側(cè)？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解；
（2）在Rt△OGE中，運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求EG，OG的長度，再計算面積；
（3）分兩種情況討論求解：①點(diǎn)Q在AC上；②點(diǎn)Q在AB上③當(dāng)Q在BC邊上時．求直線OP與直線AC的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE==，∴點(diǎn)E（0，2）．
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+，有，解得：k=．
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=．
（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE==，
設(shè)EG=3t，OG=5t，OE==t，∴，得t=2，
故EG=6，OG=10，
∴S_△OEG=．
（3）存在．
①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時，點(diǎn)Q即為點(diǎn)G，
如圖1，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P₁，

由△OP₁F≌△OP₁Q，則有P₁F⊥x軸，由于點(diǎn)P₁在直線AC上，當(dāng)x=10時，
y=-=，
∴點(diǎn)P₁（10，）．
②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，
如圖2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P₂，

過點(diǎn)Q作QH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)OH=a，
則BH=QH=14-a，
在Rt△OQH中，a²+（14-a）²=100，
解得：a₁=6，a₂=8，
∴Q（-6，8）或Q（-8，6）．
連接QF交OP₂于點(diǎn)M．
當(dāng)Q（-6，8）時，則點(diǎn)M（2，4）．
當(dāng)Q（-8，6）時，則點(diǎn)M（1，3）．
設(shè)直線OP₂的解析式為y=kx，則
2k=4，k=2．
∴y=2x．
解方程組，得．
∴P₂（）；
當(dāng)Q（-8，6）時，則點(diǎn)M（1，3），
同理可求P₃（）；


如備用圖4，由QP₄∥OF，QP₄=OF=10，
設(shè)點(diǎn)P₄的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為（x-10），
∵y_Q=y_P，直線AB的函數(shù)解析式為：y=x+14，
∴x-10+14=-x+2，
解得：x=，可得y=，
∴點(diǎn)P₄（，），
當(dāng)Q在BC邊上時，如圖5，

③當(dāng)Q在BC邊上時，如圖5，OQ=OF=10，點(diǎn)P₅在E點(diǎn)，
∴P₅（0，2），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（10，）或（）或（）或（0，2），（，）．
點(diǎn)評：此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性強(qiáng)，難度大．