Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，且PA=PE．

（1）求證：PC=PE；
（2）求∠CPE的度數(shù)；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EPC=90°

（3）∠ABC+∠EPC=180°，

理由：解：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，四邊相等，四個(gè)角為90°，且對(duì)角線平分對(duì)角，即可證出△ABP≌△CBP（SAS），得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE
（２）利用全等的性質(zhì)，由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，進(jìn)而得∠DAP=∠DCP,由PA＝PE，∠PAE=∠PEA，最后通過(guò)同角的補(bǔ)角的關(guān)系得到∠ABC+∠EPC=180°，以及四邊形的內(nèi)角和為360°，∠CPF=∠EDF=90°最后得出結(jié)論
（3）此題為一二題的變式題，借助(1)和(2)證明方法第三題易證，且菱形和正方形除了每個(gè)角不是直角以為，其他的性質(zhì)都是共性，即可證出△ABP≌△CBP（SAS），得到∠BAP=∠BCP，然后根據(jù)等腰三角形的等邊對(duì)等角得∠DAP=∠DCP，最后再通過(guò)同角的補(bǔ)角關(guān)系和四邊形的內(nèi)角和為360°即可得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．