【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=x2+x的圖象與x軸交于點(diǎn) AB,交 y 軸于點(diǎn) C,拋物線的頂點(diǎn)為 D

(1)求拋物線頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)以及直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式;

(2)點(diǎn) P 是拋物線上一點(diǎn),且點(diǎn)P在直線 AC 下方,點(diǎn) E 在拋物線對稱軸上,當(dāng)△BCE 的周長最小時(shí),求△PCE 面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo);

3)在(2)的條件下,過點(diǎn) P 且平行于 AC 的直線分別交x軸于點(diǎn) M,交 y 軸于點(diǎn)N,把拋物線y=x2+x沿對稱軸上下平移,平移后拋物線的頂點(diǎn)為 D',在平移的過程中,是否存在點(diǎn) D',使得點(diǎn) D',M,N 三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形,若存在,直接寫出點(diǎn) D'的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,﹣),直線AC的解析式為y=﹣x﹣;(2)當(dāng)t=﹣時(shí),△PEC的面積最大,最大值是,此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣,﹣);(3)存在點(diǎn) D',使得點(diǎn) D',M,N 三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形,D′點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1, )(﹣1, ),(﹣1, ),(﹣1, ).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)配方法,可得頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得答案,根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),線段的性質(zhì),可得E的坐標(biāo),根據(jù)平行于y的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得PQ,根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案;
(3)根據(jù)勾股定理,可得關(guān)于d的方程,根據(jù)解方程,可得答案.

試題解析:

1y=x2+x=x+12,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,),

當(dāng)y=0時(shí), x2+x=0,解得x1=3,x2=1,

A(﹣3,0),B(1,0).

當(dāng)x=0時(shí),y=

C0,),

∴直線AC的解析式為y=x

(2)∵△CPE得周長為BC+CE+BE,其中BC的長是固定的,

∴周長取得最小值就是BE+CE取得最小值,

∵點(diǎn)E是拋物線對稱軸上一點(diǎn),

BE=AE,

BE+CE=AE+CE,

BE+CE的最小值是AC,點(diǎn)EAC與對稱軸的交點(diǎn).

∴點(diǎn)E為(﹣1,).

∵點(diǎn)P是拋物線上x軸下方一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P為(t, t2+t).且t2+t0

過點(diǎn)PQPx軸交直線AC于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q坐標(biāo)為(t,t).

當(dāng)點(diǎn)p在對稱軸左側(cè)時(shí),SPCE=SPCQSPEQ=PQ0tPQ1t=PQ

當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸的右側(cè)時(shí),SPCE=SPCQ+SPEQ=PQ0t+PQ[t1]= PQ,

PQ=tt2+t=t2t,

SPCE=PQ=t2t=t+2+

當(dāng)t=時(shí),△PEC的面積最大,最大值是,此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣,);

3)經(jīng)過點(diǎn)P且平行于AC的直線MN的解析式為y=x,

當(dāng)x=0時(shí),y=,即N0),當(dāng)y=0時(shí),x=,即M,0),

設(shè)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(﹣1,d),則MN2=2+2=,MD′2=[1]2+d2=+d2ND′2=12+d2=d2+d+

當(dāng)∠MD′N=90°時(shí),MD′2+ND′2=MN2,即+d2+d2+d+=,

整理,得4d2+7d17=0,解得d1=,d2=

當(dāng)∠NMD′=90°時(shí),MD′2=ND′2+MN2,即+d2=d2+d++

化簡,得d=,解得d=,

當(dāng)∠NMD′90°時(shí),ND′2=MD′2+MN2, d2+d+=+d2+,

化簡,得d=,解得d=,

∴存在點(diǎn) D',使得點(diǎn) D',M,N 三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形,D′點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1, )(1, ),(1, )(1).

練習(xí)冊系列答案
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1

2

3

4

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A. B. C. D.

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1)請列式表示甲、乙兩家旅行社收取組團(tuán)兩日游的總費(fèi)用;

2)若王老師組團(tuán)參加兩日游的人數(shù)共有30人,請你通過計(jì)算,在甲、乙兩家旅行社中,幫助王老師選擇收取總費(fèi)用較少的一家.

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小明和小新在解答時(shí)先設(shè)出未知數(shù),然后列出方程如下:

①,②,其中方程①由小明所列,方程②由小新所列.

1)小明所設(shè)表示 ;

小新所設(shè)表示 .

2)請選小明或小新的方法寫出完整的解答過程.

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【題目】如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解,且這個(gè)分式不可約分,那么我們稱這

個(gè)分式為和諧分式”.

1)下列分式:;;;. 其中是和諧分式 (填寫序號即可);

2)若為正整數(shù),且和諧分式,請寫出的值;

3)在化簡時(shí),

小東和小強(qiáng)分別進(jìn)行了如下三步變形:

小東:

小強(qiáng):

顯然,小強(qiáng)利用了其中的和諧分式, 第三步所得結(jié)果比小東的結(jié)果簡單,

原因是: ,

請你接著小強(qiáng)的方法完成化簡.

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A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④

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記錄

天平左邊

天平右邊

狀態(tài)

記錄一

6個(gè)乒乓球,

1個(gè)10克的砝碼

14個(gè)一次性紙杯

平衡

記錄二

8個(gè)乒乓球

7個(gè)一次性紙杯,

1個(gè)10克的砝碼

平衡

請算一算,一個(gè)乒乓球的質(zhì)量是多少克?一個(gè)這種一次性紙杯的質(zhì)量是多少克?

解:(1)設(shè)一個(gè)乒乓球的質(zhì)量是克,則一個(gè)這種一次性紙杯的質(zhì)量是______克;(用含的代數(shù)式表示)

2)列一元一次方程求一個(gè)乒乓球的質(zhì)量,并求出一個(gè)這種一次性紙杯的質(zhì)量.

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【題目】(1)克糖水中有克糖(>0),則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為_______;若再添加克糖,并全部溶解(>0),則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為__________;生活常識告訴我們,添加的糖完全溶解后,糖水會(huì)更甜,因此我們可以猜想出以上兩個(gè)質(zhì)量比之間的大小關(guān)系是______________;

(2)我們的猜想正確嗎?請你證明這個(gè)猜想。

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