Question

求滿足方程（x²+y²）（x+y-3）=2xy的全部整數對．

Answer 1

考點：非一次不定方程（組）

專題：

分析：分五種情況：（1）若x+y≥4；（2）0＜x+y≤2；（3）x+y=3時；（4）x+y=0時；（5）x+y＜0時；進行討論即可求解．

解答：解：x+y只能為整數．
（1）若x+y≥4，則 2xy=（x²+y²）（x+y-3）＞0，
只能x＞0，y＞0．
此時，若x+y＞4，則（x²+y²）（x+y-3）＞x²+y²≥2xy，原方程無整數解．
只能x+y=4，此時2xy=x²+y²，0=（x-y）²，x=y=2．
因此x+y≥4時，x=y=2是一組整數解．
（2）0＜x+y≤2，2xy=（x²+y²）（x+y-3）＜0，
只能xy＜0．
此時，若0＜x+y＜2，0＞-x-y＞-2，3-x-y＞1，則（3-x-y）（x²+y²）＞x²+y²≥2|xy|=-2xy，原方程無整數解．
只能x+y=2，此時2xy=-（x²+y²），0=（x+y）²與 4=2²=（x+y）²矛盾．
因此0＜x+y≤2時，原方程無整數解．
（3）x+y=3時，2xy=0，
只能x，y中至少一個為0．
原方程的整數解為x=0，y=3或x=3，y=0．
（4）x+y=0時，x²=y²，
2xy=-2x²=（x²+y²）（-3）=-6x²，0=4x²，0=x=y．
原方程的整數解為x=y=0．
（5）x+y＜0時，2xy=（x²+y²）（x+y-3）＜0，
只能xy＜0．
此時，-x-y＞0，3-x-y＞3，（3-x-y）（x²+y²）＞x²+y²＞=2|xy|=-2xy，原方程無整數解．
綜上所述，原方程的整數解為x=y=2；x=y=0；x=0，y=3；x=3，y=0．一共4組．

點評：考查了非一次不定方程（組），注意方程思想的運用，以及分類思想的運用．