Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形OABC的兩個頂點A、B 的坐標分別A（，0）、B（，2），∠CAO=30°．
（1）求對角線AC所在的直線的函數(shù)表達式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直線為對稱軸翻折，點O落在平面上的點D處，求點D的坐標；
（3）在平面內(nèi)是否存在點P，使得以A、O、D、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，OA=2，∠CAO=30°，
則OC=OAtan∠CAO=2，
即點C的坐標為（0，2），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，將點A及點C的坐標代入得：，
解得：，
故直線AC的函數(shù)表達式為：y=x+2．

（2）過點D作DE⊥OA于點E，

∵∠CAO=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵AD=AO=2，
∴DE=3，AE=，
∴OE=，
故點D的坐標為（-，3）．

（3）
①當AD為平行四邊形的一邊時，點P的位置有兩個，分別為P₁、P₂，
當點P位于P₁位置時，DP₁=AO，
此時可得點P的坐標為（，3）；
當點P位于P₂位置時，
∵OD=AD，△AOD是等邊三角形，
∴點P₂與點D關(guān)于x軸對稱，
此時可得點P的坐標為（-，-3）；
②當AD為平行四年行的對角線時，點P的位置有一個，在P₃的位置，
此時DP₃=AO，
故可得點P的坐標為（-3，3）．
綜上可得存在點P的坐標，使得以A、O、D、P為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐標為（，3）或（-，-3）或（-3，3）．
分析：（1）求出點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的函數(shù)表達式；
（2）過點D作DE⊥OA于點E，利用三角函數(shù)的知識，求出DE及OE的長度，即可得出點D的坐標．
（3）找到點P的可能位置，利用平行四邊形對邊相等的性質(zhì)即可得出點P的坐標．
點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合，涉及知識點較多，解答本題的第一問的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，第二問要求我們能熟練解直角三角形，第三問要求我們具備分類討論的能力，另外要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．