Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于，兩點（點位于點左側），與軸交于點，連接．點為拋物線的頂點，點為．

（1）點是第四象限內拋物線上的一點，過點作軸交拋物線于點，作軸于點，作軸于點，點在點右邊．點是直線上一個動點，點是直線上一個動點，當四邊形的周長最大時，求的最小值；

（2）如圖2，將原拋物線繞其對稱軸與軸的交點旋轉得新的拋物線，點，的對應點分別記為，，把拋物線沿直線平移，，的對應點分別記為，是否存在點，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）的最小值為；（2）存在，或或．

【解析】

(1) 設，則．然后再確定拋物線的對稱軸以及開口方向,即可確定最值；

（2）由題意知，拋物線繞其對稱軸與軸的交點旋轉得拋物線，點的對應與點重合．設，，然后利用勾股定理得到；然后就和分別解答即可．

解：（1），，，．

設，則．

拋物線的對稱軸為，

．

矩形的周長

．

此函數的圖象為拋物線，其對稱軸為，且．

，

當時，矩形的周長最大，此時點的坐標為．

作點關于的對稱點，

，

作于交于，此時最小，的最小值．

延長交于，可求得，，

的最小值．

（2）由題意知，拋物線繞其對稱軸與軸的交點旋轉得拋物線，點的對應與點重合．

設，，

則，

，

①當時，

即

．

化簡后解得．

②當時，，

即．

化簡后解得．

綜上所述，或或．