Question

 如圖(1)，在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB＝90°，OA＝6，AB＝5，cos∠OAB＝．

    (1)寫出頂點A、B、C的坐標；

    (2)如圖(2)，點P為AB邊上的動點（P與A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分別為M，N．設PM＝x，四邊形OMPN的面積為y．

    ①求出y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

②是否存在一點P，使得四邊形OMPN的面積恰好等于梯形OABC的面積的一半？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

 (1)因為AB＝OC＝ 4，A、B關于y軸對稱，所以點A的橫坐標為2．將x＝2代入y＝，得y＝2．所以點M的坐標為（0，2）．

(2) ① 如圖2，過點Q作QH ^ x軸，設垂足為H，則HQ＝y，HP＝x– t ．

因為CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．

如圖3，當P與C重合時，，解方程，得．

如圖4，當Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x＝± 2．

因此自變量x的取值范圍是，且x¹± 2的所有實數(shù)．

           

圖2                       圖3                     圖4

②因為sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．

當時，．解方程，得（如圖5）．此時．

當時，．解方程，得．

如圖6，當時，；如圖6，當時，．

        

圖5                    圖6                            圖7