Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M（m，0）為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，可得矩形PQNM．如圖，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長(zhǎng)；
（3）當(dāng)矩形PQNM的周長(zhǎng)最大時(shí)，m的值是多少？并求出此時(shí)的△AEM的面積；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ，過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG= DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線 可知，C（0，3），
令y=0，則 ，
解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）解：由拋物線 可知，對(duì)稱軸為x=﹣1，
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
則PM= ，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）=（ ）×2= =
∴當(dāng)m=﹣2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．
（3）解：∵矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）=（ ）×2= = ∴當(dāng)m=﹣2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．
∵A（﹣3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y(tǒng)=x+3，當(dāng)x=﹣2時(shí)，則E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S= AMEM=
（4）解：∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1，∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入 ，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC= ，∵FG= DQ，∴FG=4，設(shè)F（n， ），則G（n，n+3），∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方，∴ =4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【解析】（1）利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，建立方程求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)。
（2）先確定出拋物線對(duì)稱軸，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，用含m表示出PM，MN，再根據(jù)矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN），建立函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果。
（3）由（2）得到的結(jié)論判斷出矩形周長(zhǎng)最大時(shí)，確定出m，進(jìn)而求出直線AC解析式，即可求出出此時(shí)的△AEM的面積；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上，判斷出N應(yīng)與原點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，求出DQ=DC=，求出FG的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)及點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)FG的長(zhǎng)=4，建立方程，解方程求出n的值，就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)。