Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E．

（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；

（2）將∠EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G．如果EF=2OG，求點(diǎn)Ｇ的坐標(biāo)．

（3）對于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

.解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°

    ∴∠AOD=∠DOC=45°

 ∵在矩形ABCD中，

∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3

∴△AOD是等腰Rt△  

∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°

∴∠AOE=∠BCD

∴△AED≌△BDC

∴AE=DB=1

∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)   …………………………2分

則過D、E、C三點(diǎn)的拋物線解析式為：  …

（2）DH⊥OC于點(diǎn)H,

∴∠DHO=90°

∵矩形 ABCD 中, ∠BAO=∠AOC=90°

∴四邊形AOHD是矩形

∴∠ADH=90°.

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°

∴∠1=∠3

∵AD=OA=2，

∴四邊形AOHD是正方形.

∴△FAD≌△GHD

∴FA=GH        

∴設(shè)點(diǎn) G（x，0），

∴OG=x，GH=2-x

∵EF=2OG=2x，AE=1，

∴2-x=2x-1，

∴x=1.

∴G(1,0)         

     (3)由題意可知點(diǎn)P若存在，則必在AB上，假設(shè)存在點(diǎn)P使△PCG是等腰三角形

      1）當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)，既 CP=GP時(shí)，

易求得P₁（2,2），既為點(diǎn)D時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)Q、與點(diǎn)P₁、點(diǎn)D重合，

∴點(diǎn)Q₁(2,2)                  

      2) 當(dāng)點(diǎn)C為頂點(diǎn)，既 CP=CG=2時(shí), 易求得P₂(3,2)

∴直線GP₂的解析式：

求交點(diǎn)Q:

可求的交點(diǎn)（）和（-1，-2）

∵點(diǎn)Q在第一象限

∴Q₂（）        

  3)當(dāng)點(diǎn)G為頂點(diǎn)，既 GP=CG=2時(shí), 易求得P₃(1,2)

∴直線GP₃的解析式：

求交點(diǎn)Q:

可求的交點(diǎn)（）

∴Q₃（）         

所以，所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q₁(2,2)、Q₂（）、Q₃（）．