Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點(diǎn)Q在AB上，且AQ=2，過(guò)Q做QR⊥AB，垂足為Q，QR交折線AC﹣CB于R（如圖1），當(dāng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P同時(shí)從A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度沿AB﹣BC﹣CA移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒（如圖2）．

（1）求△BCQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．

（2）t為何值時(shí)，QP∥AC？

（3）t為何值時(shí)，直線QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)P？

（4）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部，求此時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）S△BCQ=﹣t+（0≤t≤8）；（2）時(shí)，QP∥AC；

（3）當(dāng)t=0.5s或2.5s時(shí)直線QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)P；

（4）且t≠0.5時(shí)正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)C作CD垂直于AB于D點(diǎn)，由AB及AQ的長(zhǎng)，利用AB﹣AQ表示出QB的長(zhǎng)，直角三角形ABC的面積有兩種求法，兩直角邊乘積的一半，或斜邊乘以斜邊上的高的一半，兩種求法表示的面積相等可得出CD的長(zhǎng)，三角形BQC以QB為底邊，CD為高，利用三角形的面積公式即可求出；

（2）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，利用兩直線平行得到兩對(duì)同位角相等，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△BPQ∽△BCA，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值；

（3）分三種情況討論即可：①當(dāng)Q、P均在AB上時(shí)，可得出AP=6t，AQ=2+2t，令A(yù)P=AQ列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到此時(shí)t的值；②當(dāng)P在BC上時(shí)，如圖所示，由一對(duì)直角相等及一對(duì)公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形BPQ與三角形ABC相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到此時(shí)t的值；③當(dāng)P在AC上不存在QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，綜上，得到所有滿足題意的t的值；

（4）抓住兩種臨界情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在AC上，則PQ=2+2t﹣6t=2﹣4t，由△APN∽△ACB得，求出此時(shí)的t值；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在BC上，則由△BPN∽△BCA得，進(jìn)而求出此時(shí)的t值，綜上兩種情況，可得出以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．

試題解析：（1）過(guò)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，如圖所示：

∵AB=10，AQ=2+2t，

∴QB=AB﹣AQ=10﹣（2+2t）=8﹣2t，

在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，

根據(jù)勾股定理得：BC=6，

∵AC×BCAB×CD，即×6×8=×10×CD，

∴CD=，

則S△BCQ=QBCD=（8﹣2t）=﹣t+（0≤t≤8）；

（2）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A，

∴△BPQ∽△BCA，又BQ=8﹣2t，BP=6t﹣10，

∴，即，

整理得：6（8﹣2t）=10（6t﹣10），

解得：，

則時(shí)，QP∥AC；

（3）①當(dāng)Q、P均在AB上時(shí)，AP=6t，AQ=2+2t，

可得：AP=AQ，即6t=2+2t，

解得：t=0.5s；

②當(dāng)P在BC上時(shí)，P與R重合，如圖所示：

∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，又BP=6t﹣10，AB=10，BQ=8﹣2t，BC=6，

∴，即6（6t﹣10）=10（8﹣2t），

解得：t=2.5s；

③當(dāng)P在AC上不存在QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，

綜上，當(dāng)t=0.5s或2.5s時(shí)直線QR經(jīng)過(guò)點(diǎn)P；

（4）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在AC上，如圖所示：

∵AP=6t，AQ=2+2t，

∴PQ=AQ﹣AP=2+2t﹣6t=2﹣4t，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN=PQ=2﹣4t，

∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴△APN∽△ACB，

∴，即，

解得：，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在BC上，如圖所示：

由題意得：BP=10﹣6t，PN=PQ=4t﹣2，

∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B，

∴△BPN∽△BCA，

∴，即，

整理得：8（10﹣6t）=6（4t﹣2），

解得：，

∵t=0.5時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，

∴且t≠0.5時(shí)正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部．