Question

三角形中，頂角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．

【小題1】在圖1中，用尺規(guī)作AB的垂直平分線交AC于D，并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
【小題2】△BCD是不是黃金三角形，如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；
【小題3】設(shè)，試求k的值；
【小題4】如圖2，在△A₁B₁C₁中，已知A₁B₁＝A₁C₁，∠A₁＝108°，且A₁B₁＝AB，
請直接寫出的值．

Answer 1

【小題1】如圖所示

【小題2】△BCD是黃金三角形．
證明如下：  
∵點D在AB的垂直平分線上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黃金三角形．
【小題3】設(shè)BC＝x，AC＝y，
　　 由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
　　 ∴△BDC∽△ABC，
　　 ∴，即，
整理，得，
解得．/
因為x、y均為正數(shù)，所以．
【小題4】
理由：延長BC到E，使CD＝AC，連接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B₁A₁C₁．
∵A₁B₁＝AB，
∴AC＝CE＝A₁B₁＝A₁C₁，
∴△ACE≌△B₁A₁C₁，
∴AE＝B₁C₁．
由（3）知，，
∴，，
∴．

解析