Question

已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P為

AB

的中點(diǎn)，求證：PA與⊙O的半徑的和等于PC．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專題：證明題

分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后連接OA并延長至Q，使得AQ=PA；連接OP、OC、OB．易求得△OPA是等腰三角形，繼而求得∠CPO=∠POA，∠POC=∠OPQ=108°，證得PC∥OQ，OC∥PQ，可得四邊形OCPQ是平行四邊形，即可證得結(jié)論．

解答：證明：連接OA并延長至Q，使得AQ=PA；連接OP、OC、OB．
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠AOB=∠BOC=

360°

5

=72°，
∵點(diǎn)P為

AB

的中點(diǎn)，
∵∠POA=∠POB=

1

2

∠AOB=36°，
∴∠PAO=∠APO=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵AP=AQ，
∴∠PQA=∠APQ=

1

2

∠PAO=

1

2

×72°=36°，
∴∠PQA=∠POA，
∴PQ=PO．
∵∠POC=∠BOC+∠POB=72°+36°=108°，OP=OC，
∴∠CPO=∠PCO=

1

2

（180°-108°）=36°，
∴∠CPO=∠POA，∠POC=∠OPQ=108°，
∴PC∥OQ，OC∥PQ，
∴四邊形OCPQ是平行四邊形，
∴PC=OQ=OA+AQ=OA+PA．
即PA與⊙O的半徑的和等于PC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正多邊形與圓的知識(shí)、等腰三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)與判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．