Question

如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點(diǎn)O，MN=10，AB=8，以直線AB為x軸，直線MN為y軸建立坐標(biāo)系．我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整數(shù)點(diǎn)，請寫出⊙C上位于第二象限和第三象限的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：連結(jié)AC，如圖，作半徑CD⊥y軸，根據(jù)垂徑定理得AO=

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2

AB=4，在Rt△AOC中根據(jù)勾股定理計算出OC=3，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，3），N點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），M點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），然后分類討論：由于⊙C上位于第二象限和第三象限的整數(shù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)只能為-1、-2、-3、-4、-5，則設(shè)出整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于整數(shù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的方程，再解方程確定滿足條件的縱坐標(biāo)即可．

解答：解：連結(jié)AC，如圖，作半徑CD⊥y軸，
∵直徑MN=10，
∴AC=CM=CN=CD=5，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴AO=BO=

1

2

AB=4，
在Rt△AOC中，OC=

AC2-AO2

=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，3），
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），M點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），
當(dāng)⊙C上位于第二象限和第三象限的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，t），則1²+（t-3）²=5²，解得t₁=3+2

6

，t₂=3-2

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，t的值不是整數(shù)，舍去；
當(dāng)⊙C上位于第二象限和第三象限的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，t），則（-2）²+（t-3）²=5²，解得t₁=3+

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，t₂=3-

21

，t的值不是整數(shù)，舍去；
當(dāng)⊙C上位于第二象限和第三象限的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，t），則（-3）²+（t-3）²=5²，解得t₁=-1，t₂=7，滿足條件的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-1），（-3，7）；
當(dāng)⊙C上位于第二象限和第三象限的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，t），則（-4）²+（t-3）²=5²，解得t₁=0（舍去），t₂=6，滿足條件的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，6）；
當(dāng)⊙C上位于第二象限和第三象限的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，t），則（-5）²+（t-3）²=5²，解得t₁=t₂=3，滿足條件的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，3），
∴⊙C上位于第二象限和第三象限的整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-1），（-3，7），（-4，6），（-5，3）．
故答案為（-3，-1），（-3，7），（-4，6），（-5，3）．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．