Question

如圖，⊙O的半徑為1，等腰Rt△ABC的頂點B的坐標為（，0），CAB=90°，AC=AB，頂點A在⊙O上運動．

（1）當點A在x軸上時，求點C的坐標；

（2）當點A運動到x軸的負半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關系，并說明理由；

（3）設點A的橫坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值與最小值；

（4）當直線AB與⊙O相切時，求AB所在直線對應的函數(shù)關系式．

 

備用圖                 備用圖

Answer 1

 解：（1）

當點A的坐標為（1，0）時，AB=AC=－1，點C的坐標為（1，－1）；

當點A的坐標為（－1，0）時，AB=AC=＋1，點C的坐標為（－1，＋1）；

（2）直線BC與⊙O相切，過點O作OM⊥BC于點M，∴∠OBM＝∠BOM=45°,

∴OM=OB·sin45°=1，∴直線BC與⊙O相切

（3）過點A作AE⊥OB于點E

在Rt△OAE中，AE²=OA²－OE²=1－x²，

在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=(1-x²) +（-x）²=3-2x

∴S=AB·AC= AB²=(3-2x)=

其中－1≤x≤1，

當x=－1時，S的最大值為，

當x=1時，S的最小值為．

（4）①當點A位于第一象限時(如右圖)：

連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E

∵直線AB與⊙O相切，∴∠OAB=90°，

又∵∠CAB=90°，∴∠CAB

+∠OAB=180°，

∴點O、A、C在同一條直線上，∴∠AOB=∠C=45°，0

在Rt△OAE中，OE=AE=．點A的坐標為（，）

過A、B兩點的直線為y=－x+．

②當點A位于第四象限時(如右圖)

點A的坐標為（，－），過A、B兩點的直線為y=x－．