Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點，與x軸交于C點，點B的坐標(biāo)為（6，n）．線段OA=5，E為x軸上一點，且sin∠AOE=

4

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOC的面積．

Answer 1

分析：（1）過點A作AD⊥x軸于D點，由sin∠AOE=

4

5

，OA=5，根據(jù)正弦的定義可求出AD，再根據(jù)勾股定理得到DO，即得到A點坐標(biāo)（-3，4），把A（-3，4）代入y=

m

x

，確定反比例函數(shù)的解析式為y=-

12

x

；將B（6，n）代入，確定點B點坐標(biāo)，然后把A點和B點坐標(biāo)代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．
（2）先令y=0，求出C點坐標(biāo)，得到OC的長，然后根據(jù)三角形的面積公式計算△AOC的面積即可．

解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸于D點，如圖，
∵sin∠AOE=

4

5

，OA=5，
∴sin∠AOE=

AD

OA

=

AD

5

=

4

5

，
∴AD=4，
∴DO=

52-42

=3，
而點A在第二象限，
∴點A的坐標(biāo)為（-3，4），
將A（-3，4）代入y=

m

x

，得m=-12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

12

x

；
將B（6，n）代入y=-

12

x

，得n=-2；
將A（-3，4）和B（6，-2）分別代入y=kx+b（k≠0），得

-3k+b=4 6k+b=-2

，
解得

k=- 2 3 b=2

，
∴所求的一次函數(shù)的解析式為y=-

2

3

x+2；

（2）在y=-

2

3

x+2中，令y=0，
即-

2

3

x+2=0，
解得x=3，
∴C點坐標(biāo)為（3，0），即OC=3，
∴S_△AOC=

1

2

•AD•OC=

1

2

•4•3=6．

點評：本題考查了點的坐標(biāo)的求法和點在圖象上，點的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；也考查了正弦的定義、勾股定理以及三角形面積公式．