Question

（本題滿分14分）如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′．

（1）求點(diǎn)D′剛好落在對(duì)角線AC上時(shí)，線段D′C的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)D′剛好落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)；

（3）求點(diǎn)D′ 剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)．

Answer 1

(1)；(2)；(3)點(diǎn)D′ 剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為或10.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)點(diǎn)A、D′、C在同一直線上，計(jì)算即可得出答案；

利用線段垂直平分線的性質(zhì)，由勾股定理即可得出；

(3)分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)D′在矩形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D′在矩形外部，然后利用勾股定理即可得出.

試題解析： (1)如圖，∵點(diǎn)A、D′、C在同一直線上，

∴ D′C＝AC－AD′＝AC－AD＝；

連接D′D，

∵點(diǎn)D′在BC的垂直平分線上，

∴點(diǎn)D′在AD的垂直平分線上，

∴D′D＝AD′＝AD，設(shè)DE為x，易得AE＝2x，

由勾股定理得：，

∴x＝（或）；

(3)分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)D′在矩形內(nèi)部時(shí)，如下左圖，連接D′B，

∵點(diǎn)D′在AB的垂直平分線上，

∴AN＝4，

∵AD′＝5，由勾股定理得D′N＝3，

∴D′M＝2，設(shè)DE為y，

∴EM＝4－y，D′E＝y(tǒng)，在△EMD′中，由勾股定理得：，

∴y＝，

即DE的長(zhǎng)為 ；

②當(dāng)點(diǎn)D′在矩形外部時(shí)，如下右圖，連接D′B，

同①的方法可得D′N＝3，∴D′M＝8，設(shè)DE為z，

∴EM＝z－4，D′E＝z，在△EMD′中，由勾股定理得：，

∴z＝10 ，即DE的長(zhǎng)為10.

綜上所述，點(diǎn)D′ 剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為或10.

考點(diǎn)：圖形的翻折；折疊的性質(zhì).