Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AD=6，且AD⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF．
（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AE為何值時(shí)，四邊形DEBF是矩形．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再求出BE=DF，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；
（2）過D作DE⊥AB于E，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ADE=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AE=

1

2

AD．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)AE=3時(shí)，四邊形DEBF是矩形．
理由是：過D作DE⊥AB于E，
則∠ADE=30°，
∴AE=AB=3，
即當(dāng)AE=3時(shí)，∠DEB=∠DEA=90°，
即平行四邊形BEDF是矩形；
即當(dāng)AE=3時(shí)，四邊形DEBF是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟記各性質(zhì)與矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．