Question

如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AB是⊙O的直徑，點D是BC的中點，且DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB：BC=3：4，求∠C的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由AO=BO，點D是BC的中點，得出OD∥AC，OD=

1

2

AC，再由ED⊥AC，AB=AC，得到ED⊥OD，OD=

1

2

AB=BO，從而證得DE是⊙O的切線．
（2）連接AD，由AB=AC，D是BC的中點，AB：BC=3：4，得到AD⊥BC，AC：CD=3：2，設CD=2k，AC=3k，得到AD=

5

k，利用正弦定理得到sinC=

AD

AC

=

5

3

．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AO=BO，點D是BC的中點∴OD∥AC，OD=

1

2

AC
∵ED⊥AC，∴ED⊥OD
又∵AB=AC，∴OD=

1

2

AB=BO
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接AD
∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC
∵AB：BC=3：4，∴AC：CD=3：2
∴設CD=2k，AC=3k，∴AD=

5

k∴sinC=

AD

AC

=

5

3

點評：本題考查了切線的判定與性質、等腰三角形的性質、圓周角定理以及銳角三角函數的定義，此題綜合性較強，難度適中，但做起來一定要細心，不然很容易出錯．