Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）試求出拋物線的解析式；
（2）問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小，試求出△QAC的周長(zhǎng)的最小值，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）現(xiàn)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)T出發(fā)，在對(duì)稱軸上以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度向y軸的正方向運(yùn)動(dòng)，試問，經(jīng)過幾秒后，△PAC是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，所以用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)的一般式即可求出其解析式．
（2）根據(jù)（1）中所得二次函數(shù)的解析式可求出其對(duì)稱軸直線，由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，連接BC，根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)距離最短可知BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)．
根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可用待定系數(shù)法求出B、C兩點(diǎn)所在直線的解析式，在與對(duì)稱軸直線組成方程組，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出BC的長(zhǎng)即△QAC的周長(zhǎng)的最小值．
（3）設(shè)t秒后△PAC是等腰三角形．利用t表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，分①PA=CA；②PC=PA；③CP=CA三種情況解答．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三點(diǎn)代入得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
故拋物線的解析式為，y=x²-4x+3；

（2）點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)B，
連接B、C，交x=2于點(diǎn)Q，
可得直線BC：
y=-x+3，與對(duì)稱軸交點(diǎn)Q（2，1），BC=3

2

，
可得△QAC周長(zhǎng)為

10

+3

2

．

（3）設(shè)t秒后△PAC是等腰三角形，
因?yàn)镻在對(duì)稱軸上，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，t-1）于是
①當(dāng)PA=CA時(shí)；根據(jù)勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（負(fù)值舍去）．
②PC=PA時(shí)；根據(jù)勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA時(shí)；根據(jù)勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+

6

）秒或t=（4-

6

）秒
所以經(jīng)過4秒，或3秒，或4+

6

秒，或4-

6

秒時(shí)，△PAC是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及利用函數(shù)圖象和圖象上點(diǎn)的性質(zhì)判斷符合某一條件的點(diǎn)是否存在，是一道開放性題目，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．