Question

閱讀下列解題過程：已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，試判斷△ABC的形狀．
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，①
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），②
∴c²=a²+b²，③
∴△ABC為直角三角形．
問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出該步的代號(hào)

③

；
（2）該步正確的寫法應(yīng)是

當(dāng)a²-b²=0時(shí)，a=b；當(dāng)a²-b²≠0時(shí)，a²+b²=c²

；
（3）本題正確的結(jié)論應(yīng)是

△ABC為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形

．

Answer 1

分析：（1）上述解題過程，從第三步出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因?yàn)樵诘仁絻蛇叧�以a²-b²，沒有考慮a²-b²是否為0；
（2）正確的做法為：將等式右邊的移項(xiàng)到方程左邊，然后提取公因式將方程左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)數(shù)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等式；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形或等腰三角形．

解答：解：（1）上述解題過程，從第③步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）正確的寫法為：c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
移項(xiàng)得：c²（a²-b²）-（a²+b²）（a²-b²）=0，
因式分解得：（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
則當(dāng)a²-b²=0時(shí)，a=b；當(dāng)a²-b²≠0時(shí)，a²+b²=c²；
（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案為：（1）③；（2）當(dāng)a²-b²=0時(shí)，a=b；當(dāng)a²-b²≠0時(shí)，a²+b²=c²；（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解的應(yīng)用，勾股定理的逆定理，以及等腰三角形的判定，找出閱讀材料中解題過程中的錯(cuò)誤是解本題的關(guān)鍵．