Question

拋物線y=-x²+bx+c經過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）如圖，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，點P的坐標為

（

3

2

，

3

2

）

；
（2）拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC=90°，實數(shù)m的變化范圍是

-

5

4

≤m≤5

．

Answer 1

分析：（1）把點A、C的坐標代入拋物線解析式求出b、c的值，從而得到拋物線的解析式，再求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，當與BC平行的直線與拋物線有且只有一個交點時，點D到BC的距離最大，此時△BDC的面積最大，然后聯(lián)立直線與拋物線解析式，消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求出x的值，即可得到點D的橫坐標，然后代入直線BC的解析式求出點P的縱坐標，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點E的坐標，過點C作CG⊥%EF，然后分①點N在EG上時，點N與點E重合時，點M的橫坐標最大，然后根據(jù)點C、E的坐標求出∠CEG=45°，再求出∠MEF=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出EM的長度，從而得到點M的坐標，求出m的最大值；②點N在線段GF上時，設GN=x，然后表示出NF，根據(jù)同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后證明△NCG和△MNF相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式用x表示出MF，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出y的最大值，然后求出MO，從而得到點M的坐標，求出m的最小值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經過點A（-1，0），C（0，3），
∴

-1-b+c=0 c=3

，
解得

b=2 c=3

，
∴y=-x²+2x+3，
令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點B的坐標為（3，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 b=3

，
解得

k=-1 b=3

，
所以，直線BC的解析式為y=-x+3，
過點D作BC的平行直線，設解析式為y=-x+d，
聯(lián)立

y=-x+d y=-x2+2x+3

，
消掉y得，-x²+2x+3=-x+d，
整理得，x²-3x-3+d=0，
當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，此時點D到BC的距離最大，△BDC的面積最大，
所以，x=-

-3

2×1

=

3

2

，
∵PD∥y軸，
∴點P的橫坐標為

3

2

，
此時y=-

3

2

+3=

3

2

，
∴點P的坐標為（

3

2

，

3

2

）；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線頂點E的坐標為（1，4），
過點C作CG⊥EF，則CG=1，
①點N在EG上時，點N與點E重合時，點M的橫坐標最大，
∵點C（0，3），E（1，4），
∴GE=1，
∴∠CEG=45°，
∵∠MNC=90°，
∴∠MEF=90°-45°=45°，
∴MF=EF=4，
∴OM=4+1=5，
∴點M的坐標為（5，0），
即m的最大值為5，
②點N在線段GF上時，設GN=x，則NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴

CG

NF

=

GN

MF

，
即

1

3-x

=

x

MF

，
整理得，MF=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
所以，當x=

3

2

時，MF有最大值

9

4

，
MO=MF-OF=

9

4

-1=

5

4

，
所以，點M的坐標為（-

5

4

，0），
所以，m的最小值為-

5

4

，
因此，實數(shù)m的變化范圍為-

5

4

≤m≤5．
故答案為：（

3

2

，

3

2

）；-

5

4

≤m≤5．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（二次函數(shù)解析式與直線解析式），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，平行直線的解析式的k值相等，相似三角形對應邊成比例的性質，二次函數(shù)的最大值問題，綜合性較強，難度較大，（2）要分情況討論．