Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），已知點(diǎn)E（m，0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）PG=；（3）存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似，此時(shí)m的值為﹣1或．

【解析】

試題分析：（1）將A（1，0），B（0，4）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，），G（m，4），則由可用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度.

（3）先由拋物線的解析式求出D（﹣3，0），則當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，﹣3＜m＜0．分兩種情況進(jìn)行討論：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例關(guān)系式，進(jìn)而求出m的值．

試題解析：【解析】
（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），

∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，

∴P（m，），G（m，4）.

∴PG=.

（3）在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似．

∵，∴當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=1或﹣3.

∴D（﹣3，0）．

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，﹣3＜m＜0．

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+4，

將D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=.

∴直線BD的解析式為y=x+4. ∴H（m，m+4）．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么，即.

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1.

②如果△PGB∽△DEH，那么，即.

由﹣3＜m＜0，解得m=．

綜上所述，在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似，此時(shí)m的值為﹣1或．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.單動(dòng)點(diǎn)問題；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.由實(shí)際問題列代數(shù)式；6.相似三角形的判定和性質(zhì)；7.分類思想的應(yīng)用．