Question

如圖，矩形ABCD中，AB=

2

，AD=2．點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)△CDF是等腰三角形時(shí)，BE的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：過點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，判斷△CDF是等腰三角形，要分類討論，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答：解：①CF=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為點(diǎn)M，
則CM∥AE，DM=MF，（1分）
延長CM交AD于點(diǎn)G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴當(dāng)BE=1時(shí)，△CDF是等腰三角形；

②DF=DC時(shí)，則DC=DF=

2

，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
則BE=

2

，
∴當(dāng)BE=

2

時(shí)，△CDF是等腰三角形；

③FD=FC時(shí)，則點(diǎn)F在CD的垂直平分線上，故F為AE中點(diǎn)．
∵AB=

2

，BE=x，
∴AE=

2+x2

，
AF=

2+x2

2

，
∵△ADF∽△EAB，
∴

AD

AE

=

AF

EB

，

2

2+x2

=

2+x2

2 x

，
x²-4x+2=0，
解得：x=2±

2

，
∴當(dāng)BE=2-

2

時(shí)，△CDF是等腰三角形．
綜上，當(dāng)BE=1、

2

、2-

2

時(shí)，△CDF是等腰三角形．
故答案為：1、

2

、2-

2

．

點(diǎn)評：此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，考查知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性比較強(qiáng)，另外要注意輔助線的作法．