Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（，0）時，求此時DP的長及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)直線AB的解析式是；（2）DP=,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；
存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、P₄（，0）

試題分析：（1）過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求解.
（2）由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo).
（3）分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在x軸正半軸上時，即t＞0時；②當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，但D在x軸上方時；即＜t≤0時
③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，D在x軸下方時，即t≤時.
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值.
試題解析：
（1）如答圖1，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F.

由已知得：BF=OE=2，∴.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，2）.
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），則有
，解得.
∴直線AB的解析式是.
（2）∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，
∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD，∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°.∴△ADP是等邊三角形.
∴.
如答圖2，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，延長EB交DH于點(diǎn)G，則BG⊥DH.

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG=BD•cos60°=．DG=BD•sin60°=.
∴OH=EG=，DH=.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）.
（3）存在.
假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動過程中，使△OPD的面積等于.
設(shè)點(diǎn)P為（t，0），下面分三種情況討論：
①當(dāng)t＞0時，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t.
∵△OPD的面積等于，∴，
解得（舍去）.
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（，0）.
②∵當(dāng)D在x軸上時，如答圖3，

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=，
∴當(dāng)＜t≤0時，如答圖1，BD=OP=﹣t，DG=t，
∴GH=BF=2﹣（t）=2+t.
∵△OPD的面積等于，∴，解得.
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（，0）.
③當(dāng)t≤時，如答圖4，BD=OP=﹣t，DG=t，

∴DH=t﹣2.
∵△OPD的面積等于，
∴，解得（舍去）.
∴點(diǎn)P₄的坐標(biāo)為（，0）.
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、P₄（，0）.