Question

如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分別在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求證：EF=AE+CF．

Answer 1

證明：如圖，延長DC至M，使CM=AE，
在△ABE和△CBM中，，
∴△ABE≌△CBM（SAS），
∴BM=BE，∠CBM=∠ABE，
∵∠D=60°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC=360°-60°-90°×2=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°，
∴∠MBF=∠MCB+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠EBF=∠MBF，
在△BMF和△BEF中，，
∴△BMF≌△BEF（SAS），
∴MF=EF，
∵M(jìn)F=MC+CF，
∴EF=AE+CF．
分析：延長DC至M，使CM=AE，利用“邊角邊”證明△ABE和△CBM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=BE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CBM=∠ABE，然后求出∠MBF=60°，從而得到∠EBF=∠MBF，利用“邊角邊”證明△BMF和△BEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MF=EF，再根據(jù)MF=MC+CF整理即可得證．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，本題利用“補短法”作輔助線構(gòu)造出兩對全等三角形，是解題的關(guān)鍵．